The Gauss-Bonnet-Chern theorem for α-Grushin Manifolds
Théorème de Gauss-Bonnet-Chern pour les variétés α-Grushin
Résumé
In this paper we provide a Gauss-Bonnet-Chern formula for α-Grushin manifolds. We establish a result that yields a geometric invariant linking asymptotically the geometry and topology of manifolds that exhibit a not necessarily connected submanifold of singularities, that we shall call singular set. This invariant is obtained by means of the classical Gauss-Bonnet-Chern formula for manifolds with boundary and asymptotic contraction of the tubular neighbourhood of the singular set. As a consequence, a Gauss-Bonnet formula for 2D almost-Riemannian structures can be recovered.
Dans cet article, nous proposons une formule de Gauss-Bonnet-Chern pour les variétés α-Grushin. Nous établissons un résultat qui donne un invariant géométrique reliant asymptotiquement la géométrie et la topologie des variétés qui présentent une sous-variété de singularités non nécessairement connexe, que nous appellerons ensemble singulier. Cet invariant est obtenu au moyen de la formule classique de Gauss-Bonnet-Chern pour les variétés à bord et à contraction asymptotique du voisinage tubulaire de l'ensemble singulier. En conséquence, une formule de Gauss-Bonnet pour les structures quasi-riemanniennes à 2D peut être récupérée.
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